Materi Ajar: Barisan dan Deret Geometri
A. Memahami: Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
Berbeda dengan pola linier yang bertumbuh lewat penambahan nilai konstan (aritmetika), alam sering kali menunjukkan pola pertumbuhan atau peluruhan multiplikatif yang eksponensial. Pembelahan sel bakteri yang berlipat ganda, peluruhan unsur radioaktif, penyusutan harga kendaraan bermotor secara persentase, hingga penyebaran virus secara berantai merupakan representasi dari Barisan dan Deret Geometri.
Secara formal, Barisan Geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya (mulai dari suku kedua) diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan suatu bilangan tetap yang disebut dengan Rasio ($r$). Jika suku pertama dinyatakan sebagai $a$ (atau $U_1$), maka pola barisan dapat ditulis sebagai:
$$a, \ a \cdot r, \ a \cdot r^2, \ a \cdot r^3, \ \dots, \ a \cdot r^{n-1}$$Rumus umum untuk menentukan Suku ke-$n$ ($U_n$) pada barisan geometri didefinisikan sebagai:
$$U_n = a \cdot r^{n-1}$$Di mana:
- $U_n$ = Suku ke-$n$
- $a$ = Suku pertama ($U_1$)
- $r$ = Rasio antara dua suku yang berurutan ($\frac{U_n}{U_{n-1}}$)
- $n$ = Banyaknya suku ($n \in \mathbb{N}$)
Untuk memvisualisasikan bagaimana konstanta rasio ($r$) melipatgandakan tinggi struktur barisan secara multiplikatif, perhatikan grafik visualisasi barisan geometri di bawah ini:
1. Konsep Deret Geometri dan Rekonstruksi Pembuktian Rumus $S_n$
Jika suku-suku pada barisan geometri tersebut dijumlahkan secara berurutan, kita mendapatkan sebuah Deret Geometri. Jumlah $n$ suku pertama dari deret tersebut dilambangkan dengan $S_n$. Secara representatif:
$$S_n = a + a \cdot r + a \cdot r^2 + a \cdot r^3 + \dots + a \cdot r^{n-1}$$Untuk menemukan rumus umum $S_n$ tanpa perlu menghitung secara manual, kita dapat melakukan rekonstruksi matematis dengan teknik selisih pengali berikut:
Tulis persamaan jumlah asli:
$$S_n = a + a \cdot r + a \cdot r^2 + \dots + a \cdot r^{n-1} \quad \text{--- (Persamaan 1)}$$Kalikan kedua ruas Persamaan 1 dengan rasio $r$:
$$r \cdot S_n = a \cdot r + a \cdot r^2 + a \cdot r^3 + \dots + a \cdot r^n \quad \text{--- (Persamaan 2)}$$Kurangkan Persamaan 1 dengan Persamaan 2 (untuk kondisi $r \lt 1$ atau sebaliknya):
$$S_n - r \cdot S_n = (a + a \cdot r + \dots + a \cdot r^{n-1}) - (a \cdot r + a \cdot r^2 + \dots + a \cdot r^n)$$Suku-suku tengah saling meniadakan (*telescoping sum*), menyisakan hanya suku pertama dan suku terakhir:
$$S_n(1 - r) = a - a \cdot r^n$$ $$S_n(1 - r) = a(1 - r^n)$$Maka, rumus jumlah $n$ suku pertama dari deret geometri adalah:
$$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad \text{untuk } r \lt 1$$ $$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \quad \text{untuk } r \gt 1$$💡 Deret Geometri Tak Hingga ($S_{\infty}$)
Apabila banyak suku $n$ mendekati tak hingga ($n \to \infty$) dan rasio berada pada interval konvergen $-1 \lt r \lt 1$, maka nilai $r^n$ akan meluruh mendekati nol ($r^n \to 0$). Rumus deret tersebut menyusut menjadi bentuk yang sangat elegan: $$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$$ Sifat konvergen ini sangat esensial dalam analisis lintasan fisika, proses peluruhan kimia, dan fraktal matematika.
B. Mengaplikasikan: Sifat Suku Tengah dan Suku Sisipan Geometri
Analisis fungsional barisan geometri juga mencakup dua teorema perluasan aljabar penting:
- Suku Tengah ($U_t$): Jika barisan geometri memiliki banyak suku ganjil ($n$ ganjil), maka suku tengahnya merupakan rata-rata geometris dari suku pertama dan suku terakhir: $$U_t = \sqrt{a \cdot U_n}$$ Letak indeks suku tengah berada pada indeks: $$t = \frac{n+1}{2}$$
- Rasio Sisipan ($r'$): Apabila di antara dua bilangan asli $x$ dan $y$ disisipkan sebanyak $k$ buah bilangan baru sehingga membentuk barisan geometri baru, maka rasio barisan baru ($r'$) adalah: $$r' = \sqrt[k+1]{\frac{y}{x}}$$ Jika penyisipan dilakukan pada setiap sela barisan geometri lama yang berasio $r$, rasio baru menjadi: $$r' = \sqrt[k+1]{r}$$
1. Matriks Karakteristik Pembeda Suku dan Deret Geometri
Berikut adalah peta analisis struktur fungsional barisan dan deret geometri:
| Nama Struktur | Bentuk Matematis | Representasi Fungsi | Karakteristik Pertumbuhan |
|---|---|---|---|
| Barisan Geometri | $U_n = a \cdot r^{n-1}$ | Fungsi Eksponensial: $f(n) = \left(\frac{a}{r}\right)r^n$ | Pertumbuhan eksplosif ($r \gt 1$) atau peluruhan hiperbolis ($0 \lt r \lt 1$). |
| Deret Geometri | $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ | Akumulasi Eksponensial: $g(n) = C_1 r^n + C_2$ | Kurva akumulasi eksponensial naik tajam tanpa asimtot atas ($r \gt 1$). |
| Deret Geometri Tak Hingga | $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ | Limit Fungsi Konvergen ($|r| \lt 1$) | Kurva asimtotis datar. Jumlah kumulatif stabil menuju nilai jenuh tertentu. |
C. Bernalar Lebih Tinggi: Studi Kasus Kontekstual Bernilai HOTS
Penerapan deret geometri dalam menganalisis skenario klinis farmakokinetika obat serta rekayasa fisik pantulan elastis.
Studi Kasus 1: Model Farmakokinetika Akumulasi Dosis Obat Berulang
Deskripsi Masalah:
Seorang pasien asma kronis diberikan dosis obat teofilin sebesar $200\text{ mg}$ setiap 8 jam sekali secara rutin. Setiap interval 8 jam tersebut, tubuh pasien mengekskresikan dan meluruhkan obat secara alami sebesar $40\%$, yang berarti hanya $60\%$ dosis obat sebelumnya yang tersisa di dalam darah ($r = 0,6$).
Lakukan analisis deret geometri untuk menentukan:
a. Berapa total obat yang tersisa di tubuh pasien tepat setelah ia mengonsumsi dosis ke-5?
b. Jika batas toksisitas (keracunan obat) di dalam darah adalah sebesar $500\text{ mg}$, buktikan apakah akumulasi dosis jangka panjang pasien tersebut aman dari batas toksisitas!
Langkah 1: Memodelkan Akumulasi Dosis Obat
Setiap dosis baru yang masuk ditambahkan ke sisa obat dosis-dosis sebelumnya yang telah meluruh. Tepat setelah minum dosis ke-5, obat yang tersisa adalah jumlah dari:
- Dosis ke-5 yang baru saja diminum: $200\text{ mg}$
- Dosis ke-4 yang telah meluruh selama 8 jam: $200 \times 0,6$
- Dosis ke-3 yang telah meluruh selama 16 jam: $200 \times (0,6)^2$
- Dosis ke-2 yang telah meluruh selama 24 jam: $200 \times (0,6)^3$
- Dosis ke-1 yang telah meluruh selama 32 jam: $200 \times (0,6)^4$
Ini membentuk deret geometri dengan $a = 200$, $r = 0,6$, dan $n = 5$:
$$S_5 = \frac{200(1 - (0,6)^5)}{1 - 0,6}$$ $$S_5 = \frac{200(1 - 0,07776)}{0,4} = 500 \cdot (0,92224) = 461,12\text{ mg}$$Jadi, obat di tubuh pasien setelah dosis ke-5 adalah **461,12 mg**.
Langkah 2: Membuktikan Keamanan Jangka Panjang ($S_{\infty}$)
Untuk konsumsi berulang kali dalam jangka panjang ($n \to \infty$), total akumulasi obat akan konvergen membentuk deret tak hingga:
$$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{200}{1 - 0,6} = \frac{200}{0,4} = 500\text{ mg}$$Studi Kasus 2: Analisis Dinamika Lintasan Pantulan Bola
Deskripsi Masalah:
Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian gedung setinggi $10\text{ meter}$. Setiap kali mengenai lantai, bola tersebut memantul kembali secara vertikal mencapai ketinggian $\frac{3}{4}$ dari ketinggian sebelumnya ($r = 0,75$). Hitunglah panjang seluruh lintasan gerak bola tersebut (naik dan turun) dari saat dijatuhkan sampai bola berhenti memantul!
Langkah 1: Memahami Dua Arah Lintasan Gerak Bola
Perlu diperhatikan bahwa lintasan bola terdiri dari dua lintasan utama:
- Lintasan Turun: Dimulai dari tinggi mula-mula $10\text{ m}$, lalu pantulan turun berikutnya $7,5\text{ m}$, $5,625\text{ m}$, dst.
- Lintasan Naik: Dimulai dari pantulan naik pertama setinggi $7,5\text{ m}$, lalu $5,625\text{ m}$, dst.
Langkah 2: Menghitung Panjang Lintasan Total Menggunakan Deret Tak Hingga
Panjang lintasan total ($PL$) dirumuskan sebagai:
$$PL = \text{Lintasan Turun} + \text{Lintasan Naik}$$Lintasan Turun ($a_1 = 10, r = 0,75$):
$$S_{\infty\text{ (turun)}} = \frac{10}{1 - 0,75} = \frac{10}{0,25} = 40\text{ meter}$$Lintasan Naik ($a_2 = 10 \times 0,75 = 7,5\text{ m}, r = 0,75$):
$$S_{\infty\text{ (naik)}} = \frac{7,5}{1 - 0,75} = \frac{7,5}{0,25} = 30\text{ meter}$$Maka, panjang lintasan total gerakan bola tenis adalah:
$$PL = 40 + 30 = 70\text{ meter}$$Metode Cepat Rasio $\frac{p}{q}$: Jika tinggi awal $h$ dan rasio pantulan $\frac{p}{q}$, panjang lintasan total bola jatuh bebas adalah $PL = h \left(\frac{q+p}{q-p}\right) = 10 \left(\frac{4+3}{4-3}\right) = 70\text{ meter}$. Hasil konsisten.