Materi Ajar: Fungsi Komposisi dan Representasinya
A. Fondasi Konseptual: Apa itu Fungsi Komposisi?
Di dunia industri modern, efisiensi sering dicapai melalui penggabungan beberapa modul proses kerja secara berurutan. Misalnya, kayu mentah diolah oleh Mesin A menjadi pulp (bubur kertas), lalu bubur kertas tersebut diolah langsung oleh Mesin B menjadi lembaran kertas siap jual. Dalam struktur berpikir matematika, penggabungan dua atau lebih operasi fungsi yang dilakukan secara berurutan ini dimodelkan sebagai Fungsi Komposisi.
Secara formal, jika terdapat fungsi $f$ yang memetakan anggota himpunan $A$ ke himpunan $B$, dan fungsi $g$ yang memetakan anggota himpunan $B$ ke himpunan $C$, maka fungsi komposisi $g \circ f$ (dibaca: **g bundaran f**) adalah pemetaan langsung dari himpunan $A$ ke himpunan $C$. Notasi aljabarnya dirumuskan sebagai:
$$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$
Sebaliknya, jika kita menerapkan fungsi $g$ terlebih dahulu baru dilanjutkan oleh fungsi $f$, maka komposisinya dirumuskan sebagai:
$$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$
Syarat Eksistensi Fungsi Komposisi
Sebuah komposisi fungsi tidak selalu dapat terbentuk secara sembarang. Agar fungsi komposisi $g \circ f$ dapat terbentuk atau terdefinisi (eksis), syarat mutlaknya adalah **daerah hasil (*range*) dari fungsi pertama harus beririsan dengan daerah asal (*domain*) dari fungsi kedua**. Secara matematis ditulis:
$$R_f \cap D_g \neq \emptyset$$
Jika irisan tersebut berupa himpunan kosong ($R_f \cap D_g = \emptyset$), maka fungsi komposisi tersebut dinyatakan **tidak terdefinisi** karena tidak ada nilai keluaran dari fungsi $f$ yang dapat diproses sebagai masukan oleh fungsi $g$.
B. Sifat-Sifat Fungsi Komposisi
Untuk memahami karakteristik operasional aljabar fungsi komposisi, terdapat tiga sifat fundamental yang harus dikuasai:
- Tidak Bersifat Komutatif (Non-Commutative): Pada umumnya, mengubah urutan pengerjaan fungsi akan menghasilkan pemetaan akhir yang berbeda.
$$(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$$
- Bersifat Asosiatif (Associative): Saat mengomposisikan tiga fungsi berurutan, pengelompokan operasi tidak memengaruhi hasil akhir.
$$\left(f \circ (g \circ h)\right)(x) = \left((f \circ g) \circ h\right)(x)$$
- Adanya Fungsi Identitas ($I(x) = x$): Komposisi suatu fungsi dengan fungsi identitas akan menghasilkan fungsi itu sendiri.
$$(f \circ I)(x) = (I \circ f)(x) = f(x)$$
C. Studi Kasus Kontekstual Bernilai HOTS
Penerapan fungsi komposisi sangat krusial dalam pemodelan rantai pasok industri terpadu, sistem penggabungan diskon e-commerce ganda, dan pemrosesan fisis berlapis.
Studi Kasus 1: Rantai Pemrosesan Kimia Pengolahan Limbah Industri
Deskripsi Masalah:
Sebuah instalasi pengolahan air limbah kimia memproses air tercemar melalui dua tahap filtrasi. Tahap pertama (penyaringan partikel makro) dimodelkan oleh fungsi $f(x) = 0,8x - 5$ dengan $x$ menyatakan volume limas awal (dalam $\text{m}^3$). Tahap kedua (netralisasi zat asam) dimodelkan oleh fungsi $g(y) = 0,9y - 2$ di mana $y$ menyatakan volume keluaran hasil tahap pertama.
Tentukan:
a. Persamaan fungsi komposisi $(g \circ f)(x)$ yang memetakan langsung volume limas awal ke volume air bersih akhir!
b. Volume air bersih akhir yang dihasilkan jika volume air limbah kimia awal adalah $50\text{ m}^3$!
Langkah 1: Menentukan Fungsi Komposisi $(g \circ f)(x)$
Substitusikan persamaan fungsi $f(x)$ ke dalam fungsi $g(y)$:
$$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$
$$(g \circ f)(x) = 0,9(0,8x - 5) - 2$$
$$(g \circ f)(x) = 0,72x - 4,5 - 2$$
$$(g \circ f)(x) = 0,72x - 6,5$$
Persamaan model terpadu adalah $(g \circ f)(x) = 0,72x - 6,5$.
Langkah 2: Menghitung Hasil Akhir untuk $x = 50\text{ m}^3$
Substitusikan nilai $x = 50$ ke dalam rumus komposisi yang terbentuk:
$$(g \circ f)(50) = 0,72(50) - 6,5$$
$$(g \circ f)(50) = 36 - 6,5 = 29,5\text{ m}^3$$
Analisis Efisiensi Kimia: Dari total $50\text{ m}^3$ air limbah mentah, sistem penyaringan terkomposisi ini berhasil menghasilkan **$29,5\text{ m}^3$** air bersih siap pakai. Sisa volume yang hilang menggambarkan persentase endapan makro dan senyawa asam yang berhasil dinetralkan sistem.
D. Lembar Kerja HOTS Mandiri
Ujilah kedalaman nalar logika aljabar pemetaan dan kemampuan analisis model multivariabel Anda dengan menyelesaikan tiga tantangan eksplorasi di bawah ini secara tuntas!
Panduan Penyelesaian: Identifikasikan urutan pengerjaan fungsi dengan cermat (mana fungsi bagian dalam, mana fungsi luar), formulasikan persamaan komposisi, lakukan penyederhanaan aljabar, dan analisis kelayakan jawaban akhir!
-
Tantangan Optimasi Diskon Ganda Belanja Online (E-Commerce):
Sebuah platform belanja online menawarkan promosi akhir tahun berupa penggabungan kupon diskon ganda. Diskon tahap pertama adalah potongan harga sebesar $20\%$ (dimodelkan oleh fungsi $f(x) = 0,8x$). Diskon tahap kedua adalah potongan langsung sebesar $\text{Rp}15.000,00$ setelah potongan pertama (dimodelkan oleh fungsi $g(y) = y - 15.000$).
Pertanyaan Evaluatif:
a. Konstruksikan rumus fungsi komposisi $(g \circ f)(x)$ yang menyatakan harga akhir konsumen setelah dikenakan diskon ganda berurutan!
b. Jika seorang pembeli memilih barang seharga $\text{Rp}120.000,00$, hitunglah harga akhir yang harus ia bayar!
c. Buktikan secara matematis apakah urutan diskon komparatif $(f \circ g)(x)$ akan memberikan keuntungan harga yang lebih murah bagi konsumen dibandingkan skema $(g \circ f)(x)$!
-
Analisis Pemrosesan Produksi Minyak Kelapa Sawit (CPO):
Pabrik pengolahan kelapa sawit memproses buah sawit mentah ($x$ kg) menjadi minyak setengah jadi (crude palm oil) melalui Mesin I yang mengikuti fungsi $f(x) = 0,6x - 10$. Selanjutnya, CPO tersebut dimurnikan oleh Mesin II menjadi minyak goreng siap edar mengikuti fungsi $g(y) = 0,85y - 5$.
Pertanyaan Evaluatif:
a. Tentukan rumus fungsi komposisi yang memetakan buah sawit mentah langsung menjadi minyak goreng siap edar!
b. Jika pabrik memasukkan $5\text{ Ton}$ ($5.000\text{ kg}$) buah sawit mentah, berapakah minyak goreng siap edar yang berhasil diproduksi?
c. Jika manajemen menargetkan produksi minyak goreng siap edar hari ini minimal mencapai $2\text{ Ton}$ ($2.000\text{ kg}$), analisis dengan fungsi invers komposisi berapa berat minimum bahan buah sawit mentah yang harus disediakan!
-
Tantangan Pemodelan Konversi Satuan Suhu Termal Meteorologi:
Dalam pemetaan cuaca penerbangan internasional, data suhu dikonversi antar-satuan Kelvin ($K$), Celcius ($C$), dan Fahrenheit ($F$). Rumus konversi suhu Celcius ke Fahrenheit dimodelkan oleh $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$, sedangkan rumus konversi suhu Kelvin ke Celcius dimodelkan oleh $C(K) = K - 273$.
Pertanyaan Evaluatif:
a. Formulasikan fungsi komposisi $(F \circ C)(K)$ yang memetakan langsung satuan suhu Kelvin ke derajat Fahrenheit!
b. Lakukan kalibrasi dengan menghitung berapa derajat Fahrenheit suhu gas helium jika suhu lingkungan terukur sebesar $300\text{ Kelvin}$!
c. Tunjukkan nilai suhu mutlak di mana satuan Celcius dan Fahrenheit menunjukkan nilai derajat numerik yang tepat sama ($C = F$)!